Blog

adsense

Giải bài tập ôn tập cuối năm – Toán 10 – SGK Kết nối tri thức
——————-

A. TRẮC NGHIỆM

1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{matrix}x+y>2\\ x-y\leq 1\end{matrix}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. (1; 1) B. (2; 0) C. (3; 2) D. (3; -2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

2. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3$?

A. Vô số B. 1 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

3. Biết rằng parabol y = x2 +bx + c có đỉnh là I(1; 4). Khi đó giá trị của b + c là

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta $: x + 2y -5 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Vecto $\overrightarrow{n}=(1;2)$ là một vecto pháp tuyến của $\Delta $

B. Vecto $\overrightarrow{u}=(2; -1)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta $.

C. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix}x=1-2t\\ y=1+t\end{matrix}\right.$.

D. Đường thẳng $\Delta $ có hệ số góc k = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

5. Trong khai triển nhị thức Newton của (2 + 3x)4, hệ số của x2 là:

A. 9 B. $C_{4}^{2}$ C. 9.$C_{4}^{2}$ D. 36.$C_{4}^{2}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

6. Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là:

A. $\frac{7}{15}$ B. $\frac{8}{15}$ C. $\frac{1}{15}$ D. $\frac{2}{15}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

B. Tự luận:

Bài tập 7.

Cho các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;

Q: “Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2”

a. Hãy phát biểu các mệnh đề P $\Rightarrow$ Q, Q $\Rightarrow$ P, P $\Leftrightarrow$ Q, $\overline{P}$ $\Rightarrow$ $\overline{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b. Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn rả mệnh đề P $\Rightarrow$ Q.

c. Gọi X là tập hợp các tam giác ABC vuông tại A, Y là tập hợp các tam giác ABC có trung tuyến $AM=\frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải:

a. P $\Rightarrow$ Q: Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2.
Q $\Rightarrow$ P: Nếu tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2 thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
P $\Leftrightarrow$ Q: Tam giác ABC là tam giác vuông tại A khi và chỉ khi tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2.
$\overline{P}$ $\Rightarrow$ $\overline{Q}$: Nếu tam giác ABC không là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 $\neq $ BC2.
b.

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện đủ để tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2.
Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn AB2 + AC2 = BC2 là điều kiện cần để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
c. Vì nếu tam giác ABC có trung tuyến $AM=\frac{1}{2}BC$ thì tam giác ABC vuông tại A.

Nên tập hợp X = Y.

Bài tập 8.

a. Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: $\left\{\begin{matrix}x+y\leq 6\\ 2x-y\leq 2\\ x\geq 0\\ y\geq 0\end{matrix}\right.$

b. Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Hướng dẫn giải

a. Biểu diển miền nghiệm trên hệ trục tọa độ:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh của tứ giác, với O(0; 0), A(1; 0), $B\left ( \frac{8}{3};\frac{10}{3} \right )$, C(0; 6).

b. Tính giá trị của F lần lươt tại các đỉnh của tứ giác OABC, ta được:

• Giá trị lớn nhất của F trên miền D là: F(0; 6) = 18.
• Giá trị nhỏ nhất của E trên miền D là: F(0; 0) = 0.

 

Bài tập 9.

Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c với đồ thị là parabol (P) có đỉnh $I\left ( \frac{5}{2};\frac{1}{4} \right )$ và đi qua điểm A(1; 2).

a. Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng y = a(x – h)2 + k, trong đó I(h, k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b. Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.

c. Giải bất phương trình $f(x)$ $\geq $ 0.

Hướng dẫn giải

a. y = a(x – h)² + k, mà parabol đi qua điểm $I\left ( \frac{5}{2};\frac{1}{4} \right )$ nên ta có: $y = a\left ( x-\frac{5}{2} \right )^{2}+\frac{-1}{4}$

Mà parabol đi qua A(1; 2) nên: $2 = a\left ( 1-\frac{5}{2} \right )^{2}+\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow$ a = 1.

Vậy parabol dạng: y = x² -5x +6.

b.

• Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng: $\left (\frac{5}{2};+\infty  \right)$
• Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng: $\left (-\infty ;\frac{5}{2}; \right)$.

c. $f(x) = 0$ có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = 3, nên $f(x)$ $\geq $ 0 $\Leftrightarrow $ x $\geq $ 3 hoặc x $\leq $ 2.

Bài tập 10.

Giải các phương trình chứa căn thức sau:

a. $\sqrt{2x^{2}-6x+3}=\sqrt{x^{2}-3x+1}$

b. $\sqrt{x^{2}+18x-9}=2x-3$

Hướng dẫn giải

a. Bình phương hai vế của phương trình được:

$2x^{2}-6x+3 = x^{2}-3x+1$

$\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0$

$\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = 1.

Thử lại giá trị:

• x = 2 không thỏa mãn phương trình.
• x = 1 không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b. Bình phương hai vế của phương trình được:

$x^{2}+18x-9 = 4x^{2} – 12x + 9$

$\Leftrightarrow -3x^{2}+30x-18=0$

$\Leftrightarrow $ x = $5+\sqrt{19}$ hoặc x = $5-\sqrt{19}$.

Thử lại giá trị:

• x = $5+\sqrt{19}$ thỏa mãn phương trình.
• x = $5-\sqrt{19}$ không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = $5+\sqrt{19}$.

Bài tập 11.

Từ các chữ số 0; 1; 2;…..; 9 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải

Các số tự nhiên lập được nhỏ hơn 1000 và chia hết cho 5 thì: các số đó có thể có 1 chữ số, 2 chữ số, hoặc 3 chữ số và có tận cùng là 0 hoặc 5.

• Số có 1 chữ số, mà chia hết cho 5 là: 0; 5.
• Số có 2 chữ số, gọi số đó có dạng $\overline{ab}, a\neq b, a\neq 0$.

Ta có: b thuộc tập {0; 5}, có 2 cách chọn, chọn a có 9 cách. Nên số cách lập là: 9.2 = 18.

Ta trừ bỏ các số vừa lập được mà có chữ số 0 đứng đầu, số các số đó là: 1.

$\Rightarrow$ Số các số có 2 chữ số lập được thỏa mãn bài toán là: 18 – 1 = 17.

• Số có 3 chữ số, gọi số đó có dạng $\overline{abc}, a\neq b\neq c , a\neq 0$.

Ta có: chọn c thuộc tập {0; 5}, có 2 cách chọn, chọn a có 9 cách, chọn b có 8 cách. Nên số cách lập là: 2.9.8 = 144.

Ta trừ bỏ các số vừa lập được mà có chữ số 0 đứng đầu, số các số đó là: 8.

$\Rightarrow$ Số các số có 3 chữ số lập được là: 144 – 8 = 136.

Vậy số các số lập được là: 2 + 17 + 136 = 155 số.

 

Bài tập 12.

Viết khai triển nhị thức Newton của (2x -1)n, biết n là số tự nhiên thỏa mãn $A_{n}^{2}+24C_{n}^{1}=140$.

Hướng dẫn giải

adsense

• Tìm n, điều kiện $n\geq 2$

$A_{n}^{2}+24C_{n}^{1}=140\\\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-2)!}+24\frac{n!}{1!.(n-1)!}=140\\\Leftrightarrow n.(n-1)+24.n=140\\\Leftrightarrow n^{2}+23n-140=0$

$\Leftrightarrow $ n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = -28 (loại).

(2x -1)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴.(-1) + 10(2x)³.(-1)² +10(2x)².(-1)³ + 5(2x)(-1)⁴ +(-1)⁵

=32x⁵ – 80x⁴ + 80x³ – 40x² + 10x -1.

Bài tập 13.

Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có:

$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$

Hướng dẫn giải

Gọi $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi của tam giác.

Theo công thức có: S_ABC = p.r, nên r = S_ABC : p.

Theo công thức Heron: $S_{ABC}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$

Ta có: p – a = $\frac{a+b+c}{2}$ – a = $\frac{b+c-a}{2}$.

Tương tự p – b = $\frac{a+b+c}{2}$ – b = $\frac{a+c-b}{2}$.

p – c = $\frac{a+b+c}{2}$ – c = $\frac{a+b-c}{2}$.

$\Rightarrow$ $r=\frac{\sqrt{p}\sqrt{\frac{(b+c-a)}{2}.\frac{(c+a-b)}{2}.\frac{(a+b-c)}{2}}}{p}=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$.

 

Bài tập 14.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a. Biểu thị các vecto $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{AN}$ theo các vecto $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}$.

b. Tính $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\overrightarrow{DM}= \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

b.

$\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$ = $(-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})$

= $\frac{-1}{2}\overrightarrow{AD}^{2}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}$

mà AB, AD vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$  = $\frac{-1}{2}\overrightarrow{AD}^{2}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2} = \frac{-1}{2}AD^{2}+\frac{1}{2}AB^{2} = 0$

• Do $\overrightarrow{DM}.\overrightarrow{AN}$ = 0 nên đường thẳng DM vuông với đường thẳng AN, hay góc giữa đường thẳng DM và AN là 90^o.

 

Bài tập 15.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2).

a. Viết phương trình đường thẳng BC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

c. Viết phương trình đường tròn có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.

Xem hướng dẫn giải

a. $\overrightarrow{BC}(3;-4)$

$\Rightarrow$ Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(4;3)$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng BC là: $4(x – 1) + 3(y – 2) = 0$, hay $4x + 3y -10 = 0$.

b.

• Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC: $d_{(A; BC)}=\frac{|4.(-1)+3.3-10|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=1$
• Tính BC = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác ABC là: S_ABC = $\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}$.

 

Bài tập 16.

Trên mặt phẳng tọa độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai điểm A(1; 1) và B(-1; 21) với các vecto vận tốc tương ứng là $\overrightarrow{v_{A}}=(1; 2)$, $\overrightarrow{v_{B}}=(1; -4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau không?

Xem hướng dẫn giải

• Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{v_{A}}=(1; 2)$

$\Rightarrow$ đường thẳng có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{A}}=(2; -1)$

$\Rightarrow$ Phương trình: $2(x – 1) – (y -1) = 0$, hay $2x – y -1 = 0$ (d₁)

• Viết phương trình đường thẳng đi qua B và có vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{v_{B}}=(1; -4)$

$\Rightarrow$ đường thẳng có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{B}}=(4; 1)$

$\Rightarrow$ Phương trình: 4(x + 1) – (y – 21) = 0, hay 4x – y +25 = 0 (d₂)

Có $2x – y -1 = 0$ $\Leftrightarrow$ $4x – 2y – 2 = 0$ $\neq $ 4x – y +25 nên hai đường thẳng (d₁) và (d₂) cắt nhau.

$\Rightarrow$ Hai vật thể gặp nhau.

 

Bài tập 17.

Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Xem hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB. Nên tọa độ hai điểm là: A(-8; 0) và B(8; 0)

Khi đó vị trí tàu phát ra âm thanh là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 6 s nên ta có: |MA – MB| = 6:3600.1236 = 2,06 km.

Gọi phương trình chính tắc của hypebol có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{^{2}}{b^{2}}=1$ với a, b > 0.

Do |MA – MB| = 2,06 = 2a $\Leftrightarrow$ a = 1,03.

Do hai tiêu điểm là: A(-8; 0) và B(8; 0) nên c = 8

$\Rightarrow$ b = $\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{63,9391}$

$\Rightarrow$ phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: $\frac{x^{2}}{1,0609}-\frac{y^{2}}{63,9391}=1$ .

Vậy phạm vi vị trí phát ra là trên đường hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{1,0609}-\frac{y^{2}}{63,9391}=1$.

Bài tập 18.

Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi $.

a. Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

b. Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết: 3,1415 < $\pi $ < 3,1416.

Xem hướng dẫn giải

a. Số đúng: $\pi $.

Số gần đúng: $\frac{22}{7}$.

b. Ta có:

$3,1415<\pi <3,1416\\\Rightarrow \frac{22}{7}-3,1416<\frac{22}{7}-\pi <\frac{22}{7}-3,1415\\\Rightarrow \left | \pi -\frac{22}{7} \right |<0,0014$

$\Rightarrow$ Sai số tuyệt đối là 0,0014.

• Sai số tương đối là: $\frac{0,0014}{\frac{22}{7}}\approx 0,00045$.

 

Bài tập 19.

Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:

a. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.

b. Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

Xem hướng dẫn giải

Số trung bình: $\frac{5,3+10,4+7+10,8+6,5+11,1+10,7+12+10+12,2}{10}=9,6$

Phương sai: $\frac{(5,3-9,6)^{2}+(10,4-9,6)^{2}+(7-9,6)^{2}+(10,8-9,6)^{2}+(6,5-9,6)^{2}}{10}\\+\frac{(11,1-9,6)^{2}+(10,7-9,6)^{2}+(12-9,6)^{2}+(10-9,6)^{2}+(12,2-9,6)^{2}}{10} = 5,308$.

$\Rightarrow$ Độ lệch chuẩn: 2,3

Số trung bình: $\frac{1,3+2,9+1,6+2,3+2,1+2,6+3,7+4,4+3+4,3}{10}=2,82$

Phương sai: $\frac{(1,3-2,82)^{2}+(2,9-2,82)^{2}+(1,6-2,82)^{2}+(2,3-2,82)^{2}+(2,1-2,82)^{2}}{10}\\+\frac{(2,6-2,82)^{2}+(3,7-2,82)^{2}+(4,4-2,82)^{2}+(3-2,82)^{2}+(4,3-2,82)^{2}}{10} = 1,0136$

$\Rightarrow$ Độ lệch chuẩn: 1,007

b. Dựa theo số trung bình thì tỉ lệ hộ nghèo của các tỉnh / thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng của năm 2016 giảm so với năm 2010.

Dựa theo độ lệch chuẩn thì mức độ phân tán của năm 2010 cao hơn so với năm 2016.

 

Bài tập 20.

Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chắn.

Lời giải

Chọn 3 số trong 23 số nguyên dương nên $n(\Omega ) = C_{23}^{3} = 1771$.

Trong 23 số nguyên dương đầu tiên có 11 số chẵn và 12 số lẻ.

Gọi biến cố A: “tổng ba số chọn được là một số chắn”

Để tổng 3 số chọn được là một số chắn thì có các trường hợp:

• Cả 3 số được chọn đều chắn, số cách: $C_{11}^{3} = 165$.
• 2 số lẻ, 1 số chẵn, số cách: $C_{12}^{2}. C_{11}^{1}= 726$.

$\Rightarrow$ n(A) = 165 + 726 = 891

$\Rightarrow$ P(A) = $\frac{891}{1771}=\frac{81}{161}$