## Solve Lesson 31 Page 56 Math 10 – Kite >

Topic

Solve the following quadratic inequalities:

a) $$3{x^2} – 8x + 5 > 0$$

b) $$– 2{x^2} – x + 3 \le 0$$

c) $$25{x^2} – 10x + 1 < 0$$

d) $$– 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0$$

Solution method – See details

Use the sign theorem of quadratic triangles

Step 1: Determine the sign of the coefficient $$a$$ and find the karma of $$f\left( x \right)$$ (if any)

Step 2: Use the dot theorem of quadratic triangles to find the set of values ​​of x such that $$f\left( x \right)$$ bears the sign satisfying the inequality

}

Detailed explanation

a) $$3{x^2} – 8x + 5 > 0$$

The quadratic triangle $$3{x^2} – 8x + 5$$ has two solutions $${x_1} = 1;{x_2} = \frac{5}{3}$$ and has the coefficient $$a = 3 > 0$$

Using the sign theorem of quadratic triangles, we see that the set of values ​​of $$x$$ such that the triangle $$3{x^2} – 8x + 5$$ bears the “+” sign is \ (\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

So the solution set of the inequality $$3{x^2} – 8x + 5 > 0$$ is $$\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{5} {3}; + \infty } \right)$$

b) The quadratic triangle $$– 2{x^2} – x + 3$$ has two solutions $${x_1} = – \frac{3}{2};{x_2} = 1$$ and has the system number $$a = – 2 < 0$$

Using the sign theorem of quadratic trigonometry, we see that the set of values ​​$$x$$ such that the triangle $$– 2{x^2} – x + 3$$ bears the sign “-” is $$x \in \left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right]\cup \left[ {1; + \infty } \right)$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $$– 2{x^2} – x + 3 \le 0$$ là $$x \in \left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$$

c) Tam thức bậc hai $$25{x^2} – 10x + 1$$ có nghiệm kép $${x_0} = \frac{1}{5}$$ và có hệ số $$a = 25 > 0$$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy $$25{x^2} – 10x + 1 \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}$$. Do đó tập hợp những giá trị của $$x$$ sao cho tam thức $$25{x^2} – 10x + 1$$ mang dấu “-” là $$\emptyset$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $$25{x^2} – 10x + 1 < 0$$ là $$\emptyset$$

d) $$– 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0$$

Tam thức bậc hai $$– 4{x^2} + 5x + 9$$ có hai nghiệm $${x_1} = – 1;{x_2} = \frac{9}{4}$$ và có hệ số $$a = – 4 < 0$$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $$x$$ sao cho tam thức $$– 4{x^2} + 5x + 9$$ mang dấu “+” là $$\left[ { – 1;\frac{9}{4}} \right]$$

So the solution set of the inequality $$– 4{x^2} + 5x + 9 \ge 0$$ is $$\left[ { – 1;\frac{9}{4}} \right]$$